Esto, más que una demostración es una duda que tengo. Aunque soy matemático soy bastante ignorante en estos temas y es una manera de lanzar a debate esta cuestión.

A ver si me explico.

Supongamos que existe una función biyectiva:

f:\mathbb N \longrightarrow \mathbb R

Es decir, que puedo ordenar los número reales de alguna manera (son numerables). Y definimos la función Di(s) como el dígito i-ésimo del número real s. Podemos entonces considerar un número real r, tal que

D_i(r) = (D_i(f(i))+1) \mod 10

Con esto conseguimos la famosa “diagonalización”

Según hemos definido f, y como es un número real, existe un número k natural tal que f(k) = r Pero no sabemos cuál es su k-ésimo decimal, es decir cuánto vale Dk(r) porque:

D_k(r) = (D_k(f(k))+1) \mod 10 = (D_k(r) + 1) \mod 10

Por tanto no es un número real, no está bien definido. Pero al no estar incluido en el conjunto de los reales, al estar “fuera” de \mathbb R puedo definir correctamente r, es decir puedo diagonalizar con toda paz… con lo que sería un número real y volveríamos al principio.

En el teorema de la diagonalización de Cantor se concluye que no existe tal función f, es decir, que \mathbb R no es numerable. Pero yo concluyo que sencillamente r está mal definido porque no puedo decir que pertenece a un conjunto y a la vez no, vamos, una paradoja.

Sigamos con nuestro razonamiento…

Para que se me entienda en mi razonamiento no hace falta tratar con conjuntos infinitos. Vamos a definir un conjunto C de números reales formado por todos los números reales que se puedan expresar en menos de mil palabras. Por ejemplo, “dos”, “tres”, “la media aritmética de los 10.000 primeros dígitos de Pi”, “raíz de dos”, etc. Podemos decir que es un conjunto finito ya que el lenguaje es limitado, está limitado por letras y aunque podríamos definir un lenguaje más específico o más matemático, nos limitamos al español, con tal de que entendamos qué numero es el que representamos en una expresión.

Pues bien, sea una función g biyectiva:

g:\mathbb N_c \longrightarrow C

Donde \mathbb N_c son los números naturales del 1 hasta el cardinal de C. Es decir que pueda ordenar los elementos de C, esto es posible ya que es un conjunto finito y puedo ordenarlo alfabéticamente, por ejemplo.

Sea s un número tal que:

D_i(s) = (D_i(g(i))+1) \mod 10 (Diagonalizamos C)

Siempre que i sea menor que card(C) (cardinal de C) y mayor o igual que uno. Con un cero como parte entera y ceros a partir del (card(C)+1)-ésimo dígito.

¿Podemos decir que s pertenece a C? Podemos, ya que su definición nos ha llevado menos de mil palabras. Pero como lo hemos definido, no puede pertenecer a C, ya que por definición de g, debe tener una posición n-ésima tal que g(n) = s

Con esta contradicción, ¿debemos concluir que no existe la función g? ¿y qué puede significar? ¿que C es infinito?

Creo que la diagonalización hace contradecir la definición de un número real, y por tanto no es un método bueno. Pero claro, esto es un punto de vista muy tontorrón, es posible que me haya equivocado en cosas muy básicas. ¿Quién me ayuda en esta paradoja?