Ordenando las tonterías que tenía escritas desde hacía mucho, me he dado cuenta que hice un decubrimiento y en 2004 otro tipo lo publicó. Me refiero a una biyección de los positivos naturales con los positivos racionales.

En la “On-Line Encyclopedia of Integer Sequences” (un sitio genial: tú pones los términos de una sucesión y te dice como se llama) aparecen tanto la secuencia de los numeradores (A020650) como de los denominadores (A020651). Me parece que el descubridor “oficial” es Antti Karttunen, pero no estoy muy seguro del año, ya que es él mismo el que lo da de alta en la enciclopedia en 2004.

Su definición en la enciclopedia es de una sencillez absoluta:

Numerators in recursive bijection from positive integers to positive rationals (the bijection is f(1) = 1, f(2n) = f(n)+1, f(2n+1) = 1/(f(n)+1)).

Debe ser algo fácil de descubrir, por ejemplo, hay un tipo que dice en un foro que se le ocurrió así de repente: “Simple bijection N <-> Q”

A mí también, pero mucho antes. ¿Pruebas? Presenté un trabajo en Inteligencia Artificial las funciones numerador y denominador (a saber dónde está) Un amigo arquitecto colgó en la pared de su estudio un árbol con los primeros 8 niveles (a saber dónde está) A algunos compañeros y amigos les expliqué mi descubrimiento (a saber qué recuerdan)

También es posible que fuera inventado en el siglo XVII dada mi ignorancia.

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Un profesor de la facultad nos explicó dos funciones para representar a los números racionales. La función S(x)=1+x y la función I(x)=1/x. Así que 2/3, por ejemplo puede representarse por I·S·I·S·1 (donde el puntito representa a la composición de funciones, lo que es lo mismo que poner I(S(I(S(1))) pero ahorrando paréntesis)

Un tonto se daría cuenta que I(I(x)) = x y que por tanto puede haber varias representaciones para un número racional. Yo me dije que siempre que hay una función inversa (I) debe haber una función sucesor (S) Así que re-definí la función I con I(x)=1/(1+x) Pero, me pregunté ¿habrá dos representaciones para un mismo racional?

Dibujé un árbol como este:

Más bien lo dibujé en un papel y el primer arriba del todo (1), los sucesores a la izquierda (1+x), los inversos-sucesores a la derecha (1/(1+x)). Y me di cuenta que no había repeticiones. Más tarde dibujé uno de 8 niveles que fotocopió mi amigo arquitecto y lo colgó en su estudio.

No me costó demostrar que en este árbol se representaban todos los racionales, sin repetición y en su forma reducida.

Curiosamente, los numeradores del lado derecho forman la famosa sucesión de Fibonacci.

Lo que escribí en aquel trabajo de IA (Inteligencia Artificial) fue una función para encriptar que nada más que consistía en convertir una frase en un número enorme entero (fácil) y convertirlo en un racional (mediante f), multiplicarlo por 2/3 y volver a convertirlo en un entero. Para desencriptar no hay más que volver a multiplicar por 3/2. Bueno, si a alguien le interesa le cuento…

Lo que me gustó de esta representación de los números racionales es su manera recursiva y pienso que podrían demostrarse proposiciones o teoremas por hipótesis de inducción: a) Se cumple para 1. b) Si se cumple para x, entonces se cumple para x+1. c) Si se cumple para x, entonces se cumple para 1/(1+x).

Algo más podría contar, pero hasta aquí puedo leer (como diría la Mayra)